सिद्ध कीजिए कि $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{3} x \, dx = \frac{2}{3}$.

(A) माना कि $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{3} x \, dx$.
हम $\sin^{3} x$ को $\sin^{2} x \cdot \sin x$ के रूप में लिख सकते हैं।
सर्वसमिका $\sin^{2} x = 1 - \cos^{2} x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos^{2} x) \sin x \, dx$.
माना $u = \cos x$,तो $du = -\sin x \, dx$,या $\sin x \, dx = -du$.
जब $x = 0$,तब $u = \cos(0) = 1$.
जब $x = \frac{\pi}{2}$,तब $u = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_{1}^{0} (1 - u^{2}) (-du) = \int_{0}^{1} (1 - u^{2}) \, du$.
$u$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$I = [u - \frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1} = (1 - \frac{1}{3}) - (0 - 0) = \frac{2}{3}$.
अतः,परिणाम सिद्ध हुआ।